Paradoks Chajzera – rozwiązanie

Przedstawiony wcześniej paradoks został sformułowany i prawidłowo przeanalizowany po raz pierwszy już w 1975 roku na łamach The American Statistician. Jak się domyślacie, nie jest to najbardziej poczytne pismo w Stanach, więc zagadnienie nie zyskało większego rozgłosu aż do 1990 roku, kiedy Marylin vos Savant, redaktorka kolumny „Zapytaj Marylin” w magazynie Parade rozwiązała ten problem w odpowiedzi na list jednego z czytelników.

Jak przystało na właścicielkę rekordu Guinessa dla kobiety o najwyższym ilorazie inteligencji, dodatkowo wyspecjalizowaną w zagadkach logicznych, zaprezentowała poprawne rozwiązanie. Było ono jednak na tyle niezgodne z intuicją, że na głowę nieszczęsnej dziennikarki posypały się gromy, ciskane nie tylko przez zwykłych czytelników, ale również przedstawicieli środowisk naukowych, w tym wielu matematyków z doktoratami. W odpowiedzi na rzekomy błąd wysłano do gazety aż 10 000 listów, między innymi o następującej treści:

Jeśli mogę prosić, zanim weźmiesz się za rozwiązywanie takich problemów przeczytaj najpierw jakiś elementarny podręcznik na temat prawdopodobieństwa.

Charles Reid, Ph.D. University of Florida

Jestem pewny, że w związku z tą pomyłką otrzymasz wiele listów od uczniów liceów. Zatrzymaj sobie kilka adresów, licealiści pomogą Ci z pisaniem kolejnych artykułów.

Robert Smith, Ph.D. Georgia State University

Jesteś w wielkim błędzie i mam nadzieję, że to zdarzenie ściągnie więcej uwagi na problem narodowego kryzysu w nauczaniu matematyki. Przyznając się do błędu, przysłużyłabyś się znacznie do zmiany tego godnego ubolewania stanu rzeczy. Jak wielu wzburzonych matematyków potrzeba, byś zmieniła wreszcie zdanie?

E. Ray Bobo, Ph.D. Georgetown University

W ten sposób paradoks Monty’ego Halla, ochrzczony tak od nazwiska prezentera telewizyjnego, gospodarza programu Let’s Make a Deal, zyskał ogromną sławę. Vos Savant, po przedstawieniu kilku wersji rozwiązania, zmieniła linię argumentacji proponując przeprowadzenie w amerykańskich szkołach eksperymentu. Wyniki potwierdziły oczywiście jej zdanie, a butni naukowcy musieli pójść do Canossy. Jednym z nieprzekonanych był sam Paul Erdős, który uwierzył dopiero po zobaczeniu komputerowej symulacji.

Jak zatem wygląda rozwiązanie naszego problemu? Porównajmy dwie strategie:

1. Trwamy przy swoim wyborze.

Gdy wybieramy bramkę po raz pierwszy, prawdopodobieństwo wygranej wynosi dokładnie 1/3. Jeżeli pozostaniemy przy pierwotnej decyzji, nasze szanse nie zmienią się.

Zrzut ekranu 2013-05-16 o 17.13.47

Prawdopodobieństwo wygranej: 1/3

2. Zmieniamy wybór

Ta sytuacja jest odrobinę bardziej skomplikowana. Zastanówmy się kiedy zmiana zdania jest opłacalna. Oczywiście wtedy, kiedy na początku wybraliśmy Zonka. Wówczas pan Chajzer odsłoni bramkę z drugim kotem w worku, natomiast my zmienimy nasz pierwotny wybór i opuścimy studio w nowiutkim Lamborghini.

Zrzut ekranu 2013-05-16 o 17.14.43

Strategia ta prowadzi do wygranej wtedy i tylko wtedy, gdy na początku wybraliśmy kota w worku. Jakie jest prawdopodobieństwo takiej sytuacji?

Zrzut ekranu 2013-05-16 o 17.15.27

Są dwa koty, więc w dwóch z trzech przypadków trafimy na jednego z nich. Stąd prawdopodobieństwo trafienia na Zonka w pierwszym wyborze (zarazem prawdopodobieństwo wygranej) wynosi 2/3.

Prawdopodobieństwo wygranej: 2/3

Powyższe rozwiązanie jest proste, ale krytykowane czasem przez matematyków jako poprawne, choć chybotliwe (?), niekompletne czy odnoszące się do innego problemu. Wskazują oni na fakt, że „prawdopodobieństwo wygranej przy przyjęciu strategii zmiany wyboru za każdym razem” oraz „prawdopodobieństwo wygranej gdy zmieniamy wybór po tym jak odsłonięto jedną z bramek i znajduje się w niej kot” nie są tożsame, chociaż w tym konkretnym przypadku będą zawsze identyczne. Formalne rozwiązanie wymaga zastosowania pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenia Bayesa.

Czego uczy nas paradoks Zygmunta Chajzera? Po pierwsze: umysł ludzki często ma skłonności do kierowania się nieracjonalnymi przesłankami. Większość z nas, postawiona przed opisanym wyżej wyborem, zdecydowałaby się trwać przy raz podjętej decyzji. Psychologowie, próbując wyjaśnić takie zachowanie, sformułowali hipotezę efektu posiadania. Zjawisko definiowane jest jako błąd poznawczy przejawiający się tendencją do cenienia wyżej przedmiotów będących w naszym posiadaniu. Tłumacząc na polski, wychodzimy z założenia, że lepszy wróbel w garści niż gołąb na dachu.

Drugi wniosek jest w dobie Internetu szczególnie aktualny. Przykład amerykańskich naukowców pokazuje, że nawet duża wiedza w danym temacie nie czyni nas nieomylnymi i powinniśmy się dwa razy zastanowić zanim w szyderczy i pogardliwy sposób wytkniemy komuś błąd na forum publicznym. Strach pomyśleć jak skończyłaby się cała historia, gdyby Marylin vos-Savant zamiast w 1990 roku, opublikowała swój artykuł dzisiaj, na przykład na Facebooku.

Udostępnij: